Question

20．已知函數(shù)f（x）=x|x-2|+bx（b∈R）．
（1）當(dāng)b=0時(shí)，解方程f（x）=1；
（2）若f（x）在R上的增函數(shù)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)b=0時(shí)，f（x）=x|x-2|=1，從而解方程即可；
（2）化簡f（x）=x|x-2|+bx=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（b-2）x，x≥2}\\{-{x}^{2}+（2+b）x，x＜2}\end{array}\right.$，從而由二次函數(shù)的性質(zhì)可知-$\frac{b-2}{2}$≤2且$\frac{b+2}{2}$≥2，從而解得．

解答 解：（1）當(dāng)b=0時(shí)，f（x）=x|x-2|=1，
解得，x=1或x=$1+\sqrt{2}$；
（2）f（x）=x|x-2|+bx=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（b-2）x，x≥2}\\{-{x}^{2}+（2+b）x，x＜2}\end{array}\right.$，
由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，
若f（x）在R上的增函數(shù)，
則-$\frac{b-2}{2}$≤2且$\frac{b+2}{2}$≥2，
解得，b≥2．

點(diǎn)評 本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用及二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用．