Question

19．如圖，三棱柱ABC-A′B′C′，BC=1，BC′=1，CC′=$\sqrt{2}$，面ABC⊥面BCC′B′，E、F分別為棱AB、CC′的中點．
（Ⅰ）求證：EF∥面A′BC′；
（Ⅱ）求證：面ABC′⊥面A′B′C′．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取A′B中點M，連接EM、C′M，由已知推導(dǎo)出FC′$\underset{∥}{=}$EM，由此能證明EF∥面A′BC′．
（Ⅱ）由勾股定理得C′B⊥BC，從而C′B⊥面ABC，由此能證明面ABC′⊥面A′B′C′．

解答 證明：（Ⅰ）取A′B中點M，連接EM、C′M，
又∵E為AB中點，∴EM$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AA′，
∵AA′$\underset{∥}{=}$BB′$\underset{∥}{=}$CC′，F(xiàn)為CC′中點，∴FC′$\underset{∥}{=}$EM，
∴EMC′F為平行四邊形，∴EF∥C′M，
又EF?平面A′BC′，C′M?面A′BC′，∴EF∥面A′BC′．
（Ⅱ）∵BC=1，BC′=1，CC′=$\sqrt{2}$，
∴C′B⊥BC，
∵面ABC⊥面BCC′B′，且面ABC∩面BCC′B′=BC，
∴C′B⊥面ABC，
∵平面ABC∥平面A′B′C′，∴C′B⊥平面A′B′C′，
∵C′B?平面ABC′，∴面ABC′⊥面A′B′C′．

點評 本題考查線面平行的證明，考查面面垂直的證明，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．