Question

17．若函數(shù)f（x）對其定義域內(nèi)的任意x₁，x₂，當f（x₁）=f（x₂）時總有x₁=x₂，則稱f（x）為緊密函數(shù)，例如函數(shù)f（x）=lnx（x＞0）是緊密函數(shù)，下列命題：
①緊密函數(shù)必是單調(diào)函數(shù)；②函數(shù)f（x）=$\frac{{{x^2}+2x+a}}{x}$（x＞0）在a＜0時是緊密函數(shù)；
③函數(shù)f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{{log}_3}x，x≥2}\\{2-x，x＜2}\end{array}}$是緊密函數(shù)；
④若函數(shù)f（x）為定義域內(nèi)的緊密函數(shù)，x₁≠x₂，則f（x₁）≠f（x₂）；
⑤若函數(shù)f（x）是緊密函數(shù)且在定義域內(nèi)存在導數(shù)，則其導函數(shù)f′（x）在定義域內(nèi)的值一定不為零．
其中的真命題是②④．

Answer 1

分析 根據(jù)已知可得緊密函數(shù)f（x）的自變量與函數(shù)值是一一映射，單調(diào)函數(shù)一定是緊密函數(shù)，但緊密函數(shù)不一定是單調(diào)的，由此逐一分析5個結(jié)論的真，可得答案．

解答 解：∵函數(shù)f（x）對其定義域內(nèi)的任意x₁，x₂，當f（x₁）=f（x₂）時總有x₁=x₂，則稱f（x）為緊密函數(shù)，
∴緊密函數(shù)f（x）的自變量與函數(shù)值是一一映射，
單調(diào)函數(shù)一定是緊密函數(shù)，但緊密函數(shù)不一定是單調(diào)的，故①錯誤；
f（x）=$\frac{{{x^2}+2x+a}}{x}$（x＞0）在a＜0時是單調(diào)遞增函數(shù)，故一定是緊密函數(shù)，故②正確；
函數(shù)f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{{log}_3}x，x≥2}\\{2-x，x＜2}\end{array}}$不是一一映射，不是緊密函數(shù)，故③錯誤；
若函數(shù)f（x）為定義域內(nèi)的緊密函數(shù)，x₁≠x₂，則f（x₁）≠f（x₂），故④正確；
函數(shù)f（x）=x³是緊密函數(shù)且在定義域內(nèi)存在導數(shù)，則其導函數(shù)f′（x）=3x²在定義域內(nèi)的值可以為零，故⑤錯誤；
故答案為：②④

點評 本題考查的知識點是緊密函數(shù)的定義，正確理解緊密函數(shù)的概念，是解答的關(guān)鍵．