Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F₁，右焦點(diǎn)為F₂，離心率e=

1

2

，過F₁的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且△ABF₂的周長(zhǎng)為8．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)橢圓左，右頂點(diǎn)分別為C、D，P為直線x=

a2

c

上一動(dòng)點(diǎn)，PC交橢圓于M，PD交橢圓于N，試探究在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)Q，使得直線MN恒過點(diǎn)Q？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；
（3）在（2）的前提下，問當(dāng)P在何處時(shí)，使得S_△CMN最大？

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）運(yùn)用離心率公式，和橢圓的定義，求得a，c，再由a，b，c的關(guān)系，得到b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程求出交點(diǎn)M，N，求出直線MN的斜率，求得直線方程，即可得到定點(diǎn)；
（3）運(yùn)用三角形面積公式，S_△CMN=

1

2

|CQ|•|y_M-y_N|=

3

2

|y_M-y_N|，由于由于MN恒過定點(diǎn)（1，0），且y_M•y_N＜0，則當(dāng)|y_M|=|y_N|=

b2

a

=

3

2

時(shí)，面積取得最大值，解方程即可得到t=3．

解答： 解：（1）離心率e=

1

2

，即有a=2c，
過F₁的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且△ABF₂的周長(zhǎng)為8，
由橢圓的定義，可得，AF₁+AF₂=BF₁+BF₂=2a，
則有4a=8，解得，a=2，c=1，b=

3

，
則橢圓方程為：

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）由橢圓：

x2

4

+

y2

3

=1，可得，C（-2，0），D（2，0），
P為直線x=4上一點(diǎn)，設(shè)為（4，t），則直線PC：y=

t

6

（x+2），
聯(lián)立橢圓方程，解得交點(diǎn)M（

54-2t2

27+t2

，

18t

27+t2

），
直線PN：y=

t

2

（x-2），聯(lián)立橢圓方程，求得交點(diǎn)N（

2t2-6

3+t2

，

-6t

3+t2

），
則求得兩點(diǎn)M，N的斜率為k=

6t3+54t

81-t4

=

6t

9-t2

，
直線MN的方程為：y=

6t

9-t2

x+

6t

t2-9

=

6t

9-t2

（x-1），
則直線MN恒過定點(diǎn)（1，0），
則在坐標(biāo)平面內(nèi)存在定點(diǎn)Q，使得直線MN恒過點(diǎn)Q（1，0）；
（3）S_△CMN=

1

2

|CQ|•|y_M-y_N|=

3

2

|y_M-y_N|，由于MN恒過定點(diǎn)（1，0），
且y_M•y_N＜0，則當(dāng)|y_M|=|y_N|=

b2

a

=

3

2

時(shí)，面積取得最大值，此時(shí)t＞0，
且

18t

27+t2

=

3

2

，

54-2t2

27+t2

=1，解得，t=3．
即有當(dāng)P在點(diǎn)（4，3）時(shí)，使得S_△CMN最大．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)、定義，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，求交點(diǎn)，考查直線恒過定點(diǎn)問題，考查三角形的面積的最大問題，屬于中檔題．