Question

1．已知數(shù)列{a_n}中，a_n＞0，4S_n=（a_n+1）²．
（1）求a_n；
（2）設(shè)b_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$，求其前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)4S_n=（a_n+1）²．得出4a_n=（a_n+1）²-（a_n-1+1）²．a(chǎn)_n-a_n-1=2，可判斷得出數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，公差為2，首項(xiàng)為1，求解即可．
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{2n-1}{{3}^{n}}$，運(yùn)用錯(cuò)位相減的方法求解即可．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}中，a_n＞0，4S_n=（a_n+1）²①，
（a₁-1）²=0，
即a₁=1，
4S_n-1=（a_n-1+1）²②
①-②得出4a_n=（a_n+1）²-（a_n-1+1）²．
即（a_n-1）²=（a_n-1+1）²．
（a_n-1）=±（a_n-1+1）．
即a_n-1=a_n-1+1或a_n-1=-a_n-1-1
化簡得出≥2，a_n-a_n-1=2或a_n=-a_n-1（舍去）
可判斷得出數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，公差為2，首項(xiàng)為1，
∴a_n=2n-1，
（2）∵設(shè)b_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{2n-1}{{3}^{n}}$
∴其前n項(xiàng)和T_n=$\frac{1}{3}+\frac{3}{{3}^{2}}$$+\frac{5}{{3}^{3}}$$+\frac{7}{{3}^{4}}$+…+$\frac{2n-3}{{3}^{n-1}}$$+\frac{2n-1}{{3}^{n}}$，①
$\frac{1}{3}{T}_{n}$=$\frac{1}{{3}^{2}}$$+\frac{3}{{3}^{3}}$+$\frac{5}{{3}^{4}}$+$\frac{7}{{3}^{5}}$+…$+\frac{2n-3}{{3}^{n}}$$+\frac{2n-1}{{3}^{n+1}}$②
①-②：$\frac{2}{3}$T_n=$\frac{1}{3}+$2（$\frac{1}{{3}^{2}}$$+\frac{1}{{3}^{3}}$$+…+\frac{1}{{3}^{n}}$）=$\frac{1}{3}+$2×$\frac{\frac{1}{9}×（1-（\frac{1}{3}）^{n-1}）}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{2}{3}$+（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
∴其前n項(xiàng)和T_n=1+$\frac{3}{2}$×（$\frac{1}{3}$）ⁿ，

點(diǎn)評 本題綜合考查了數(shù)列的遞推關(guān)系式，等差數(shù)列的性質(zhì)，公式，錯(cuò)位相減的方法，屬于中檔題，化簡仔細(xì)認(rèn)真．