Question

3．把邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD沿對(duì)角線AC折成直二面角．求：
（1）翻折后異面直線AC，BD的所成角；
（2）求翻折后兩個(gè)頂點(diǎn)B，D間的距離；
（3）求∠DCB．

Answer 1

分析 （1）取AC的中點(diǎn)E，則AC⊥BE，AC⊥DE，根據(jù)線面垂直的判定及性質(zhì)可得結(jié)論；
（2）在三角形BDE中求出BD的長(zhǎng)；
（3）由（2），可求∠DCB．

解答 解：（1）取AC的中點(diǎn)E，則
∵ABCD是正方形，
∴AC⊥BE，AC⊥DE．?
∵BE∩DE=E，
∴AC⊥面BDE，
∵BD?面BDE，
∴AC⊥BD，
∴異面直線AC，BD的所成角為90°；
（2）由（1），∠BED=90°，DE=BE=$\sqrt{2}$
∴BD=$\sqrt{2+2}$=2；
（3）∵DC=BC=BD=2，
∴∠DCB=60°．

點(diǎn)評(píng) 本題的考點(diǎn)是與二面角有關(guān)的立體幾何綜合問(wèn)題，主要考查在折疊問(wèn)題中考查兩點(diǎn)間的距離．關(guān)鍵是折疊問(wèn)題要注意分清在折疊前后哪些量發(fā)生了變化，哪些量沒(méi)變．