Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\frac{ax+1}{2x-1}$
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）若a=1，試判斷f（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）定義域容易看出為{x|x$≠\frac{1}{2}$}；
（2）a=1時(shí)，分離常數(shù)得到$f（x）=\frac{1}{2}+\frac{3}{2（2x-1）}$，可以判斷出f（x）在$（\frac{1}{2}，+∞）$上單調(diào)遞減，根據(jù)減函數(shù)的定義，設(shè)任意的${x}_{1}＞{x}_{2}＞\frac{1}{2}$，然后作差，通分，提取公因式，證明f（x₁）＜f（x₂）便可得出f（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）上單調(diào)遞減．

解答 解：（1）使f（x）有意義，則2x-1≠0；
∴$x≠\frac{1}{2}$；
∴定義域?yàn)閧x|x$≠\frac{1}{2}$}；
（2）a=1時(shí)，$f（x）=\frac{x+1}{2x-1}=\frac{\frac{1}{2}（2x-1）+\frac{3}{2}}{2x-1}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2（2x-1）}$；
$x＞\frac{1}{2}$時(shí)，x增大，2（2x-1）增大，∴$\frac{3}{2（2x-1）}$減小，f（x）減��；
∴f（x）在$（\frac{1}{2}，+∞）$上單調(diào)遞減，證明如下：
設(shè)${x}_{1}＞{x}_{2}＞\frac{1}{2}$，則$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{3}{2（2{x}_{1}-1）}-\frac{3}{2（2{x}_{2}-1）}$=$\frac{3（{x}_{2}-{x}_{1}）}{2（2{x}_{1}-1）（2{x}_{2}-1）}$；
∵${x}_{1}＞{x}_{2}＞\frac{1}{2}$；
∴x₂-x₁＜0，2x₁-1＞0，2x₂-1＞0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在$（\frac{1}{2}，+∞）$上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng) 考查函數(shù)定義域的概念及其求法，分離常數(shù)法的運(yùn)用，根據(jù)單調(diào)性定義判斷并證明函數(shù)單調(diào)性的方法和過(guò)程，作差比較法比較f（x₁），f（x₂），作差后是分式的一般要通分．