Question

5．已知數(shù)列{α_m}滿足0＜a₁＜2，a_n+1=2-|a_n|，n∈N^*．
（1）若a₁，a₂，a₃成等比數(shù)列，求a₁的值．
（2）是否存在a₁，使數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列？若存在，求出所有符合題意的a₁的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）把a₂，a₃表示為a₁的式子，通過對a₁的范圍進行討論去掉絕對值符號，根據(jù)a₁，a₂，a₃成等比數(shù)列可得關(guān)于a₁的方程，解出即可．
（2）假設這樣的等差數(shù)列存在，則a₁，a₂，a₃成等差數(shù)列，即2a₂=a₁+a₃，亦即2-a₁+|2-|a₁||=2|a₁|，由0＜a₁≤2能求出所有符合題意的a₁的值．

解答 解：（1）∵數(shù)列{α_m}滿足0＜a₁＜2，a_n+1=2-|a_n|，n∈N^*，
∴a₂=2-a₁，a₃=2-|2-a₁|=a₁，
∵a₁，a₂，a₃成等比數(shù)列，∴（2-a₁）²=${{a}_{1}}^{2}$，
解得a₁=1．
（2）假設這樣的等差數(shù)列存在，則
由2a₂=a₁+a₃，得2（2-a₁）=a₁+（2-|2-a₁|），即|2-a₁|=3a₁-2．
∵0＜a₁≤2，∴2-a₁=3a₁-2，解得a₁=1，
從而a_n=1（n∈N^*），此時{a_n}是一個等差數(shù)列；
綜上可知，當且僅當a₁=1時，數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列．

點評 本題考查數(shù)列的首項的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等比數(shù)列和等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．