Question

定義在R上的函數(shù)f(x)對任意a，b∈R都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)＋k(k為常數(shù))．

(1)判斷k為何值時(shí)f(x)為奇函數(shù)，并證明；

(2)設(shè)k＝－1，f(x)是R上的增函數(shù)，且f(4)＝5，若不等式f(mx²－2mx＋3)>3對任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解　(1)若f(x)在R上為奇函數(shù)，則f(0)＝0，

令x＝y＝0，則f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋k，∴k＝0.

證明：令a＝b＝0，由f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，

得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，即f(0)＝0.

令a＝x，b＝－x，則f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，

又f(0)＝0，則有0＝f(x)＋f(－x)，

即f(－x)＝－f(x)對任意x∈R成立，∴f(x)是奇函數(shù)．

(2)∵f(4)＝f(2)＋f(2)－1＝5，∴f(2)＝3.

∴f(mx²－2mx＋3)>3＝f(2)對任意x∈R恒成立．

又f(x)是R上的增函數(shù)，

∴mx²－2mx＋3>2對任意x∈R恒成立，

即mx²－2mx＋1>0對任意x∈R恒成立，

當(dāng)m＝0時(shí)，顯然成立；

當(dāng)m≠0時(shí)，由得0<m<1.

∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是[0,1)．