Question

4．如圖，四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且PD=AB=2．
（Ⅰ）求PB的長；
（Ⅱ）求四棱錐P-ABCD的表面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)BD．證明 PD⊥BD，在直角三角形PDB中，求解PB即可．
（Ⅱ）說明△PDA，△PDC為全等的直角三角形，利用四棱錐P-ABCD的表面積S=2S_△PDA+2S_△PAB+S_{正方形ABCD}求解即可．

解答 （本小題滿分13分）
（Ⅰ）解：連結(jié)BD．
因為 PD⊥底面ABCD，
所以 PD⊥BD．（2分）
因為 底面ABCD是正方形，AB=2，
所以 $BD=2\sqrt{2}$．（3分）
在直角三角形PDB中，$PB=\sqrt{P{D^2}+B{D^2}}=2\sqrt{3}$．（5分）
（Ⅱ）解：因為 PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，
從而△PDA，△PDC為全等的直角三角形，（7分）
所以 $PA=PC=2\sqrt{2}$．（8分）
由（Ⅰ）知 $PB=2\sqrt{3}$，所以 AB²+PA²=PB²=BC²+PC²，
從而△PAB，△PCB為全等的直角三角形．（10分）
所以，四棱錐P-ABCD的表面積S=2S_△PDA+2S_△PAB+S_{正方形ABCD}（11分）
=$2×\frac{1}{2}AD•PD+2×\frac{1}{2}AB•PA+A{B^2}$=$8+4\sqrt{2}$．（13分）

點評 本題考查幾何體的表面積，點、線、面距離的求法，考查計算能力．