Question

8．已知函數(shù)$f（x）=cosx（sinx+\sqrt{3}cosx）-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，x∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若x∈（0，π），求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件利用三角恒等變換，化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的周期性，求得函數(shù)f（x）的最小正周期
（Ⅱ）由條件利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

解答 （Ⅰ）解：$f（x）=cosx（sinx+\sqrt{3}cosx）-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=$sinxcosx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}（2{cos^2}x-1）$=$\frac{1}{2}sin2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2x$
=$sin（2x+\frac{π}{3}）$，
所以函數(shù)f（x）的最小正周期$T=\frac{2π}{2}=π$．
（Ⅱ）解：由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z，求得$kπ-\frac{5π}{12}≤x≤kπ+\frac{π}{12}$，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$[kπ-\frac{5π}{12}，kπ+\frac{π}{12}]$，k∈Z．
所以當(dāng)x∈（0，π）時(shí)，f（x）的增區(qū)間為$（0，\frac{π}{12}]$，$[\frac{7π}{12}，π）$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．