8.已知函數(shù)$f(x)=cosx(sinx+\sqrt{3}cosx)-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,x∈R.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)若x∈(0,π),求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間.

分析 (Ⅰ)由條件利用三角恒等變換,化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式,再根據(jù)正弦函數(shù)的周期性,求得函數(shù)f(x)的最小正周期
(Ⅱ)由條件利用正弦函數(shù)的單調(diào)性,求得函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間.

解答 (Ⅰ)解:$f(x)=cosx(sinx+\sqrt{3}cosx)-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=$sinxcosx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}(2{cos^2}x-1)$=$\frac{1}{2}sin2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2x$
=$sin(2x+\frac{π}{3})$,
所以函數(shù)f(x)的最小正周期$T=\frac{2π}{2}=π$.
(Ⅱ)解:由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}$,k∈Z,求得$kπ-\frac{5π}{12}≤x≤kπ+\frac{π}{12}$,
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為$[kπ-\frac{5π}{12},kπ+\frac{π}{12}]$,k∈Z.
所以當(dāng)x∈(0,π)時(shí),f(x)的增區(qū)間為$(0,\frac{π}{12}]$,$[\frac{7π}{12},π)$.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角恒等變換,正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性,屬于基礎(chǔ)題.

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