Question

16．已知數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，a₁=2，a_n+1-a_n=$\frac{4}{{a}_{n+1}+{a}_{n}}$，若數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n+1}+{a}_{n}}$}的前n項和為5，則n=（　�。�

• A． 35
• B． 36
• C． 120
• D． 121

Answer 1

分析 由已知推導(dǎo)出a_n=$2\sqrt{n}$.${a}_{n+1}=2\sqrt{n+1}=22$，由此能求出n．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，a₁=2，a_n+1-a_n=$\frac{4}{{a}_{n+1}+{a}_{n}}$，
∴${{a}_{n+1}}^{2}-{{a}_{n-1}}^{2}$=4，
∴${{a}_{n+1}}^{2}=4+{{a}_{n}}^{2}$，∴${a}_{n+1}=\sqrt{4+{{a}_{n}}^{2}}$，
∵a₁=2，∴${a}_{2}=\sqrt{4+4}$=2$\sqrt{2}$，
${a}_{3}=\sqrt{8+4}$=2$\sqrt{3}$，
${a}_{4}=\sqrt{12+4}$=4=2$\sqrt{4}$，
…
由此猜想a_n=$2\sqrt{n}$．
∵a₁=2，a_n+1-a_n=$\frac{4}{{a}_{n+1}+{a}_{n}}$，數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n+1}+{a}_{n}}$}的前n項和為5，
∴$\frac{1}{4}（{a}_{2}-{a}_{1}+{a}_{3}-{a}_{2}+…+{a}_{n+1}-{a}_{n}）$=$\frac{1}{4}（{a}_{n+1}-2）=5$，
∴${a}_{n+1}=2\sqrt{n+1}=22$，解得n+1=121，∴n=120．
故選：C．

點評 本題考查實數(shù)值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意數(shù)列的遞推公式、累加法的合理運用．