Question

14．求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（1）橢圓上一點(diǎn)P（3，2）到兩焦點(diǎn)的距離之和為8；
（2）橢圓兩焦點(diǎn)間的距離為16，且橢圓上某一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別等于9或15．

Answer 1

分析 （1）由條件利用橢圓的定義、性質(zhì)、標(biāo)準(zhǔn)方程，分焦點(diǎn)在x軸上和焦點(diǎn)在y軸上兩種情況，分別求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）由條件利用橢圓的定義、性質(zhì)、標(biāo)準(zhǔn)方程，分焦點(diǎn)在x軸上和焦點(diǎn)在y軸上兩種情況，分別求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答 解：（1）①若焦點(diǎn)在x軸上，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）．
由題意知2a=8，∴a=4．
又點(diǎn)P（3，2）在橢圓上，∴$\frac{9}{16}+\frac{4}{b^2}=1$，得b²=$\frac{64}{7}$．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{{\frac{64}{7}}}=1$．
②若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），
∵2a=8，∴a=4．
又點(diǎn)P（3，2）在橢圓上，∴$\frac{4}{16}+\frac{9}{b^2}=1$，得b²=12，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{y^2}{16}+\frac{x^2}{12}=1$．
由①②知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{{\frac{64}{7}}}=1$或$\frac{y^2}{16}+\frac{x^2}{12}=1$．
（2）由題意知，2c=16，2a=9+15=24，∴a=12，b²=80．
又焦點(diǎn)可能在x軸上，也可能在y軸上，∴所求方程為$\frac{x^2}{144}+\frac{y^2}{80}=1$或$\frac{y^2}{144}+\frac{x^2}{80}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查橢圓的定義、性質(zhì)、標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．