Question

10．如圖，已知A（1，1），B（5，4），C（2，5），設(shè)向量$\overrightarrow{a}$是與向量$\overrightarrow{AB}$垂直的單位向量．
（1）求單位向量$\overrightarrow{a}$的坐標(biāo)；
（2）求向量$\overrightarrow{AC}$在向量$\overrightarrow{a}$上的投影；
（3）求△ABC的面積S_△ABC．

Answer 1

分析 （1）設(shè)$\overrightarrow{a}$=（x，y），根據(jù)向量的數(shù)量積和向量的模得到$\left\{\begin{array}{l}{4x+3y=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解方程得，
（2）設(shè)向量$\overrightarrow{AC}$與向量$\overrightarrow{a}$的夾角為θ，在$\overrightarrow{a}$上的投影為h，根據(jù)向量的投影即可求出．
（3）根據(jù)三角形的面積公式即可求出．

解答 解：（1）設(shè)$\overrightarrow{a}$=（x，y），依題意有，
$\overrightarrow{AB}$=（4，3），|$\overrightarrow{AB}$|=5，|$\overrightarrow{a}$|=1，$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{AB}$，即$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{AB}$=0，
有$\left\{\begin{array}{l}{4x+3y=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{5}}\\{y=\frac{4}{5}}\end{array}\right.$，或${\;}_{\;}^{\;}$$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{5}}\\{y=-\frac{4}{5}}\end{array}\right.$，
所以，$\overrightarrow{a}$=（-$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$）或$\overrightarrow{a}$=（$\frac{3}{5}$，-$\frac{4}{5}$），
（2）設(shè)向量$\overrightarrow{AC}$與向量$\overrightarrow{a}$的夾角為θ，在$\overrightarrow{a}$上的投影為h，
則h=|$\overrightarrow{AC}$|cosθ=$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$=$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=（1，4），
當(dāng)$\overrightarrow{a}$=（-$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$）時(shí)，h=1×（-$\frac{3}{5}$）+4×$\frac{4}{5}$=$\frac{13}{5}$，
當(dāng)$\overrightarrow{a}$=（$\frac{3}{5}$，-$\frac{4}{5}$）時(shí)，h=1×$\frac{3}{5}$+4×（-$\frac{4}{5}$）=-$\frac{13}{5}$，
（3）S_△ABC=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$||h|=$\frac{1}{2}$×5×$\frac{13}{5}$=$\frac{13}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算和向量的模的計(jì)算，以及向量的投影和三角形的面積．