Question

20．已知a是方程x+lgx=4的根，b是方程x+10^x=4的根，函數f（x）是定義在R上的奇函數，且當x≥0時，f（x）=x²+（a+b-4）x，若對任意x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，則實數t的取值范圍是（　�。�

• A． [$\sqrt{2}$，+∞）
• B． [2，+∞）
• C． （0，2]
• D． [-$\sqrt{2}$，-1]∪[$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$]

Answer 1

分析 根據反函數的性質求出a+b=4，然后根據函數奇偶性的性質求出函數f（x）的解析式，判斷函數的單調性，利用參數分離法將不等式進行轉化進行求解即可．

解答 解：由程x+lgx=4得lgx=4-x，
由x+10^x=4得10^x=4-x，
記f（x）=lgx，則其反函數f^-1（x）=10^x，
它們的圖象關于直線y=x軸對稱，
根據題意，a，b為f（x），f^-1（x）的圖象與直線y=4-x交點A，B的橫坐標，
由于兩交A，B點關于直線y=x對稱，
所以，B點的橫坐標β就是A點的縱坐標，即A（a，b），
將A（a，b）代入直線y=4-x得，a+b=4，
則當x≥0時，f（x）=x²+（a+b-4）x=x²，
∵函數f（x）是定義在R上的奇函數，
∴若x＜0，則-x＞0，
則f（-x）=x²=-f（x），
即f（x）=-x²，x＜0，
則f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，}&{x≥0}\\{-{x}^{2}，}&{x＜0}\end{array}\right.$，
則函數f（x）在（-∞，+∞）上為增函數，
若對任意x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，
即若對任意x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥f（$\sqrt{2}$x）恒成立，
則x+t≥$\sqrt{2}$x恒成立，
則t≥（$\sqrt{2}$-1）x，
則x≤$\frac{t}{\sqrt{2}-1}$=（$\sqrt{2}$+1）t，
∵x∈[t，t+2]，
∴t+2≤（$\sqrt{2}$+1）t，
即2≤$\sqrt{2}$t
則t≥$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
故選：A

點評 本題主要考查不等式恒成立問題，根據反函數的性質求出a+b=4，求出函數的解析式，利用參數分離法進行求解是解決本題的關鍵．綜合性較強，難度較大．