Question

20．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率 e=$\frac{4}{5}$，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，3），左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)F₁作直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，求△ABF₂的面積S的最大值，并求出S取最大值時(shí)直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓C的離心率，且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，3）建立方程，求出幾何量，即可求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）由橢圓方程可得左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0）．設(shè)直線l的方程為my=x+4．與橢圓方程聯(lián)立消去x可得根與系數(shù)的關(guān)系，利用△ABF₂面積S=$\frac{1}{2}$|F₁F₂||y₁-y₂|，可得關(guān)于m的表達(dá)式，再利用基本不等式即可得出．

解答 解：（1）橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，
∵橢圓過(guò)點(diǎn)A（0，3），離心率e=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{9}{^{2}}$=1，$\frac{c}{a}$=$\frac{4}{5}$，
∵c²=a²-b²．
∴a²=25，b²=9，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1．
（2）由橢圓方程可得a²=25，b²=9，c=4，
左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0）．
設(shè)直線l的方程為my=x+4，代入橢圓方程整理可得：（25+9m²）y²-72my-81=0．
∴y₁+y₂=$\frac{72m}{25+9{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{81}{25+9{m}^{2}}$．
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{{（y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{72m}{25+9{m}^{2}}）^{2}+\frac{324}{25+9{m}^{2}}}$=90$\sqrt{\frac{1+{m}^{2}}{（{25+9{m}^{2}）}^{2}}}$．
∴△ABF₂面積S=$\frac{1}{2}$|F₁F₂||y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$×8×90$\sqrt{\frac{1+{m}^{2}}{（{25+9{m}^{2}）}^{2}}}$=360$\sqrt{\frac{1+{m}^{2}}{（{25+9{m}^{2}）}^{2}}}$，
令t=1+m²（t≥1），則S=360$\sqrt{\frac{t}{（16+9t）^{2}}}$=360$\sqrt{\frac{1}{81t+\frac{256}{t}+288}}$，
由81t+$\frac{256}{t}$≥2$\sqrt{81t•\frac{256}{t}}$=288，當(dāng)且僅當(dāng)t=$\frac{16}{9}$取得等號(hào)．
△ABF₂面積S取得最大值360×$\sqrt{\frac{1}{576}}$=15．
即當(dāng)m=±$\frac{\sqrt{7}}{3}$時(shí)，△ABF₂面積S取得最大15．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及橢圓方程的求解，考查函數(shù)思想在解決問(wèn)題中的應(yīng)用，注意運(yùn)用橢圓的定義和轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．