Question

15．已知P（-1，1），Q（2，4）是曲線y=x²上的兩點．
（1）求過點P，Q的曲線y=x²的切線方程；
（2）求與直線PQ平行的曲線y=x²的切線方程．

Answer 1

分析 （1）先求導(dǎo)數(shù)y′=2x，從而得出y=x²在P，Q點處的導(dǎo)數(shù)，即求出過點P，Q的切線的斜率，由直線的點斜式方程便可寫出切線方程；
（2）可設(shè)切點為$（{x}_{0}，{{x}_{0}}^{2}）$，從而得出切線的斜率為2x₀，并可求出k_PQ=1，從而根據(jù)條件2x₀=1，這樣即可求出x₀，求出切點的坐標(biāo)，根據(jù)直線的點斜式方程便可得出切線的方程．

解答 解：（1）y′=2x；
∴過點P，Q的切線斜率分別為-2，4；
∴過點P的切線方程為：y-1=-2（x+1）；
即y=-2x-1；
過點Q的切線方程為：y-4=4（x-2）；
即y=4x-4；
（2）設(shè)切點為$（{x}_{0}，{{x}_{0}}^{2}）$；
${k}_{PQ}=\frac{4-1}{2-（-1）}=1$；
∵切線和直線PQ平行，且切線的斜率為2x₀；
∴2x₀=1；
∴${x}_{0}=\frac{1}{2}$；
∴切點為$（\frac{1}{2}，\frac{1}{4}）$；
∴切線方程為$y-\frac{1}{4}=x-\frac{1}{2}$；
即$y=x-\frac{1}{4}$．

點評 考查過曲線上某點切線方程的求法，函數(shù)在切點處的導(dǎo)數(shù)便為切線的斜率，直線的點斜式方程，由兩點坐標(biāo)求過這兩點的直線斜率的公式，以及平行直線的斜率關(guān)系．