Question

12．已知函數(shù)f（x）=x|x+a|+m|x-1|，0≤x≤2，其中a，m∈R．
（1）若a=0，m=1，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）對于給定的實(shí)數(shù)a，若函數(shù)f（x）存在最大值1+a，求實(shí)數(shù)m的取值范圍（用a表示）．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的解析式，討論x的范圍，去絕對值，由二次函數(shù)的對稱軸，可得單調(diào)區(qū)間；
（2）討論a的符號，a=0，a＞0，a＜0，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性和最值，解不等式即可得到所求m的范圍．

解答 解：（1）a=0，m=1時(shí)，f（x）=x|x|+|x-1|，
當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=x²-x+1，對稱軸為x=$\frac{1}{2}$，
單調(diào)增區(qū)間為（$\frac{1}{2}$，1），減區(qū)間為（0，$\frac{1}{2}$）；
當(dāng)1＜x≤2時(shí)，f（x）=x²+x-1，對稱軸為x=-$\frac{1}{2}$，
單調(diào)增區(qū)間為（1，2）．
綜上可得，f（x）的增區(qū)間為（$\frac{1}{2}$，2），減區(qū)間為（0，$\frac{1}{2}$）；
（2）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x|x|+m|x-1|，
由最大值為1，可得f（1）≥f（0），且f（1）≥f（2），
即有m≤1，且4+m≤1，解得m≤-3；
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（a-m）x+m，0≤x≤1}\\{{x}^{2}+（a+m）x-m，1＜x≤2}\end{array}\right.$，
由二次函數(shù)的圖象開口向上，可得f（x）的最大值在端點(diǎn)處取得．
即有f（1）=1+a為最大值，f（0）=m，f（2）=4+2a+m，
由f（1）≥f（0），且f（1）≥f（2），
即有m≤1+a，且4+m+2a≤1+a，解得m≤-3-a；
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）=x|x+a|+m|x-1|，
a=-1時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x+m）（1-x），0≤x≤1}\\{（x+m）（x-1），1＜x≤2}\end{array}\right.$，
由f（x）的最大值為0，可得f（0）=m≤0，且
f（1）=0，f（2）=2+m≤0，f（$\frac{1-m}{2}$）≤0，
解得m∈∅；
當(dāng)a≤-2時(shí)，f（x）=x（-x-a）+m|x-1|，
拋物線開口向下，由f（x）的最大值為1+a，
可得-1-a=1+a，解得a=-1，不成立；
當(dāng)-2＜a＜-1時(shí)，f（x）=x|x+a|+m|x-1|，
由f（x）的最值在頂點(diǎn)處和端點(diǎn)處取得，
可得f（0）≤1+a，f（2）≤1+a，f（1）=|1+a|，
即有m≤1+2a；
當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，f（x）=x|x+a|+m|x-1|，
由f（x）的最值在頂點(diǎn)處和端點(diǎn)處取得，
可得f（0）≤1+a，f（2）≤1+a，f（1）=1+a，
即有m≤1+2a．
綜上可得，a≥0時(shí)，m≤-3-a；
-2≤a＜0時(shí)，m≤1+2a，
a＜-2時(shí)，m不存在．

點(diǎn)評 本題考查絕對值函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用分類討論的思想方法，同時(shí)考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于難題．