Question

16．已知經(jīng)過A（5，-3）的傾斜角的余弦值是-$\frac{3}{5}$的直線于圓x²+y²=25交于B，C兩點．
（1）求BC中點坐標；
（2）求過點A與圓相切的切線方程及切點坐標．

Answer 1

分析 （1）求出直線的斜率，可得直線方程，求出過圓心與直線4x+3y-11=0垂直的直線方程，兩直線方程聯(lián)立可得BC中點坐標；
（2）分類討論，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可過點A與圓相切的切線方程及切點坐標．

解答 解：（1）傾斜角的余弦值是-$\frac{3}{5}$，則直線的斜率為-$\frac{4}{3}$，
∴經(jīng)過A（5，-3）的傾斜角的余弦值是-$\frac{3}{5}$的直線方程為y+3=-$\frac{4}{3}$（x-5），即4x+3y-11=0，
過圓心與直線4x+3y-11=0垂直的直線方程為y=$\frac{3}{4}$x，
兩直線方程聯(lián)立可得BC中點坐標為（$\frac{44}{25}$，$\frac{33}{25}$）；
（2）斜率不存在時，直線方程為x=5，滿足題意，切點坐標為（5，0）；
斜率存在時，設(shè)方程為y+3=k（x-5），即kx-y-5k-3=0，
圓心到直線的距離d=$\frac{|-5k-3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=5，可得k=$\frac{8}{15}$，
∴切線方程為8x-15y-85=0，
過圓心與直線8x-15y-85=0垂直的直線方程為y=-$\frac{15}{8}$x，
兩直線方程聯(lián)立可得切點坐標為（$\frac{40}{17}$，-$\frac{75}{17}$）．

點評 此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，涉及的知識有：點到直線的距離公式，直線的點斜式方程，垂徑定理，勾股定理，以及兩直線垂直時斜率滿足的關(guān)系，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．