Question

4．已知α、β∈（$\frac{3π}{4}$，π），sin（α+β）=-$\frac{3}{5}$，sinα=$\frac{12}{13}$，求sinβ的值．

Answer 1

分析 由已知及同角三角函數(shù)關(guān)系式求得cosα，由兩角和與差的正弦函數(shù)公式可得-$\frac{12}{13}$$\sqrt{1-si{n}^{2}β}$=$\frac{5}{13}$sinβ-$\frac{3}{5}$，兩邊平方后整理，結(jié)合β的范圍，即可解得sinβ的值．

解答 解：∵α、β∈（$\frac{3π}{4}$，π），sinα=$\frac{12}{13}$，
∴cosα=-$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=-$\frac{5}{13}$，cosβ=-$\sqrt{1-si{n}^{2}β}$
∵sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=$\frac{12}{13}$cosβ-$\frac{5}{13}$sinβ=-$\frac{3}{5}$，
∴-$\frac{12}{13}$$\sqrt{1-si{n}^{2}β}$=$\frac{5}{13}$sinβ-$\frac{3}{5}$，
∴兩邊平方，整理可得：4225sin²β-1950sinβ-2079=0，
∵β∈（$\frac{3π}{4}$，π），sinβ＞0
∴可解得sinβ=$\frac{819}{845}$．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的兩角和與差的正弦公式，同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，考查了計算能力，三角函數(shù)部分公式比較多，容易記混，要給予重視，屬于基本知識的考查．