Question

6．已知函數(shù)f（x）=asin²x+bcos²x（a＞b）的值域為[1，3]
（1）求a、b的值與f（x）的最小正周期；
（2）用五點法畫出上述函數(shù)在區(qū)間[-π，π]上的大致圖象．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)降冪公式，化簡得f（x）=$\frac{1}{2}$（b-a）cos2x+$\frac{1}{2}$（a+b），函數(shù)的值域為[1，3]，列方程解得a=3，b=1，寫出函數(shù)解析式，T=$\frac{2π}{ω}$；
（2）根據(jù)五點畫出函數(shù)圖象．

解答 解：（1）f（x）=asin²x+bcos²x（a＞b），由降冪公式，可得：
f（x）=a•$\frac{1-cos2x}{2}$+b$\frac{1+cos2x}{2}$，
=$\frac{1}{2}$（b-a）cos2x+$\frac{1}{2}$（a+b），
函數(shù)f（x）的值域為[1，3]，（a＞b）
$\frac{1}{2}$（b-a）+$\frac{1}{2}$（a+b）=1，
-$\frac{1}{2}$（b-a）+$\frac{1}{2}$（a+b）=3，
解得：a=3，b=1，
∴f（x）=-cos2x+2，
T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{2}$=π，
f（x）的最小正周期π；
（2）函數(shù)在區(qū)間[-π，π]上的大致圖象如圖．

點評 本題考查降冪公式，求函數(shù)解析式，采用函數(shù)五點法，繪制函數(shù)解析式．