Question

15．過(guò)拋物線y²=2x焦點(diǎn)的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=4，則線段AB中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 由題意知，求出拋物線的參數(shù)p，由于直線過(guò)焦點(diǎn)，設(shè)出AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)m，由中點(diǎn)的坐標(biāo)公式求出x₁+x₂，利用弦長(zhǎng)公式x₁+x₂+p，解方程可得m．

解答 解：由拋物線為y²=2x，
可得p=1．
設(shè)A、B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為x₁，x₂，
設(shè)線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，
則$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=m，即x₁+x₂=2m，
由|AB|=x₁+x₂+p=2m+1=4，
解得m=$\frac{3}{2}$．
故答案為：$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是直線被圓錐曲線所截，求弦長(zhǎng)問(wèn)題，一般可以由公式：|AB|═$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|x₁-x₂|求得；線段中點(diǎn)坐標(biāo)通常與根與系數(shù)的關(guān)系相聯(lián)系，從而簡(jiǎn)化解題過(guò)程．但對(duì)于過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)注意圓錐曲線定義的應(yīng)用．