Question

15．過拋物線y²=2x焦點的直線交拋物線于A、B兩點，且|AB|=4，則線段AB中點M的橫坐標(biāo)為$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 由題意知，求出拋物線的參數(shù)p，由于直線過焦點，設(shè)出AB中點的橫坐標(biāo)m，由中點的坐標(biāo)公式求出x₁+x₂，利用弦長公式x₁+x₂+p，解方程可得m．

解答 解：由拋物線為y²=2x，
可得p=1．
設(shè)A、B兩點橫坐標(biāo)分別為x₁，x₂，
設(shè)線段AB中點的橫坐標(biāo)為m，
則$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=m，即x₁+x₂=2m，
由|AB|=x₁+x₂+p=2m+1=4，
解得m=$\frac{3}{2}$．
故答案為：$\frac{3}{2}$．

點評 本題是直線被圓錐曲線所截，求弦長問題，一般可以由公式：|AB|═$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|x₁-x₂|求得；線段中點坐標(biāo)通常與根與系數(shù)的關(guān)系相聯(lián)系，從而簡化解題過程．但對于過焦點的弦長注意圓錐曲線定義的應(yīng)用．