Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）=cosx（asinx-cosx）+cos²（x-$\frac{π}{2}$），x∈R，a＞0的最大值為2，則f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值與最小值的差為3．

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)f（x）根據(jù)最大值求出a，得出f（x）的解析式，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出f（x）的最大值與最小值．

解答 解：f（x）=asinxcosx-cos²x+sin²x=$\frac{a}{2}$sin2x-cos2x=$\sqrt{\frac{{a}^{2}}{4}+1}$sin（2x-φ）（tanφ=$\frac{2}{a}$），
∴$\sqrt{\frac{{a}^{2}}{4}+1}$=2，解得a=2$\sqrt{3}$．∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
∴當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]．
∴當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$時(shí)，f（x）取得最小值-1；當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時(shí)，f（x）取得最大值2．
∴f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值與最小值的差為2-（-1）=3．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．