Question

5．若函數(shù)f（x）=-2x³+ax²+1存在唯一的零點，則實數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． [0，+∞）
• B． [0，3]
• C． （-3，0]
• D． （-3，+∞）

Answer 1

分析 可化為a=2x-$\frac{1}{{x}^{2}}$，從而令g（x）=2x-$\frac{1}{{x}^{2}}$，求導(dǎo)g′（x）=2$\frac{（1+x）（{x}^{2}-x+1）}{{x}^{3}}$，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而作出其圖象，利用數(shù)形結(jié)合求解．

解答 解：令f（x）=-2x³+ax²+1=0，
易知當(dāng)x=0時上式不成立；
故a=$\frac{2{x}^{3}-1}{{x}^{2}}$=2x-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
令g（x）=2x-$\frac{1}{{x}^{2}}$，則g′（x）=2+$\frac{2}{{x}^{3}}$=2$\frac{（1+x）（{x}^{2}-x+1）}{{x}^{3}}$，
故g（x）在（-∞，-1）上是增函數(shù)，
在（-1，0）上是減函數(shù)，在（0，+∞）上是增函數(shù)；
故作g（x）=2x-$\frac{1}{{x}^{2}}$的圖象如下，
，
g（-1）=-2-1=-3，
故結(jié)合圖象可知，a＞-3時，
方程a=2x-$\frac{1}{{x}^{2}}$有且只有一個解，
即函數(shù)f（x）=-2x³+ax²+1存在唯一的零點，
故選：D．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，同時考查了函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系應(yīng)用．