Question

15．已知數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=2n（$\frac{2}{3}$）ⁿ，若a_n＜λ恒成立，則λ的取值范圍是（$\frac{16}{9}$，+∞）．

Answer 1

分析 解不等式a_n≥a_n+1且a_n≥a_n-1可得數(shù)列{a_n}的最大項，由恒成立可得．

解答 解：設(shè)數(shù)列{a_n}的最大項為a_n，則a_n≥a_n+1且a_n≥a_n-1，
∴2n（$\frac{2}{3}$）ⁿ≥2（n+1）（$\frac{2}{3}$）ⁿ⁺¹，①
2n（$\frac{2}{3}$）ⁿ≥2（n-1）（$\frac{2}{3}$）^n-1，②
解①可得n≥2，解②可得n≤3，
故2≤n≤3，即數(shù)列{a_n}的最大項為a₃=a₂=$\frac{16}{9}$，
要使a_n＜λ恒成立，只需λ＞$\frac{16}{9}$
故答案為：（$\frac{16}{9}$，+∞）

點評 本題考查數(shù)列的函數(shù)特性，涉及數(shù)列的最大項和恒成立問題，屬中檔題．