Question

13．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），把曲線C上所有點的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)壓縮為原來的一半得到曲線G，以平面直角坐標(biāo)系的原點為極點，x正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρ（cosθ-2sinθ）=4．
（1）求曲線G與直線l的平面直角坐標(biāo)方程；
（2）P是曲線G上的一個動點，求點P到直線l的最大距離．

Answer 1

分析 （I）利用cos²φ+sin²φ=1，即可化為普通方程，再利用坐標(biāo)變換即可得出；
（2）設(shè)點Q（2cosθ，sinθ）為曲線G上的任意一點，則點Q到直線l的距離d=$\frac{|2cosθ-2sinθ-4|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|2\sqrt{2}cos（θ+φ）-4|}{\sqrt{5}}$，利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（I）曲線C的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}\right.$（φ參數(shù)），化為x²+y²=4，
設(shè)M（x，y）為曲線4G上的點，點M′（x′，y′）為曲線x²+y²=4上的點，
則（x′）²+（y′）²=4，$\left\{\begin{array}{l}{x={x}^{′}}\\{y=\frac{1}{2}{y}^{′}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{′}=x}\\{{y}^{′}=2y}\end{array}\right.$，
代入可得：x²+4y²=4，化為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，即為曲線G的方程．
直線l的極坐標(biāo)方程為ρ（cosθ-2sinθ）=4，化為直角坐標(biāo)方程：x-2y=4．
（2）設(shè)點Q（2cosθ，sinθ）為曲線G上的任意一點，
則點Q到直線l的距離d=$\frac{|2cosθ-2sinθ-4|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|2\sqrt{2}cos（θ+φ）-4|}{\sqrt{5}}$≤$\frac{2\sqrt{2}+4}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{10}+4\sqrt{5}}{5}$，其最大值為：$\frac{2\sqrt{10}+4\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查了極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程、點到直線的距離公式、直線與橢圓相切交問題、坐標(biāo)變換，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．