Question

4．設(shè)m＞1在約束條件$\left\{\begin{array}{l}{y≥x}\\{y≤mx}\\{x+y≤1}\end{array}\right.$下，目標(biāo)函數(shù)z=x+5y的最大值為4，則m的值為3，目標(biāo)函數(shù)z=2x-y的最小值為$-\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，先根據(jù)目標(biāo)函數(shù)z=x+5y的最大值為4，求出m的值，然后根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可．

解答 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
作出直線z=x+5y=4，
則點(diǎn)A是最優(yōu)解，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+5y=4}\\{x+y=1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{4}}\\{y=\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，即A（$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$），
同時(shí)A也在直線y=mx上，
則$\frac{1}{4}$x=$\frac{3}{4}$，解得m=3，
由z=2x-y得y=2x-z，
平移直線y=2x-z，則由圖象知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)直線的截距最大，此時(shí)z最小，
即z=2×$\frac{1}{4}$-$\frac{3}{4}$=$-\frac{1}{4}$，
故答案為：3，$-\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵．