Question

4．設m＞1在約束條件$\left\{\begin{array}{l}{y≥x}\\{y≤mx}\\{x+y≤1}\end{array}\right.$下，目標函數(shù)z=x+5y的最大值為4，則m的值為3，目標函數(shù)z=2x-y的最小值為$-\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 作出不等式組對應的平面區(qū)域，先根據(jù)目標函數(shù)z=x+5y的最大值為4，求出m的值，然后根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義進行求解即可．

解答 解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：
作出直線z=x+5y=4，
則點A是最優(yōu)解，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+5y=4}\\{x+y=1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{4}}\\{y=\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，即A（$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$），
同時A也在直線y=mx上，
則$\frac{1}{4}$x=$\frac{3}{4}$，解得m=3，
由z=2x-y得y=2x-z，
平移直線y=2x-z，則由圖象知當直線經(jīng)過點A時直線的截距最大，此時z最小，
即z=2×$\frac{1}{4}$-$\frac{3}{4}$=$-\frac{1}{4}$，
故答案為：3，$-\frac{1}{4}$．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應用，作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義是解決本題的關鍵．