Question

13．橢圓$\frac{{x}^{2}}{5a}+\frac{{y}^{2}}{4{a}^{2}+1}=1$的焦點在x軸上，則它的離心率e的取值范圍為$（0，\frac{\sqrt{5}}{5}]$．

Answer 1

分析 橢圓$\frac{{x}^{2}}{5a}+\frac{{y}^{2}}{4{a}^{2}+1}=1$的焦點在x軸上，由5a＞4a²+1．解得$\frac{1}{4}＜a＜1$．則它的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{4{a}^{2}+1}{5a}}$=$\sqrt{1-\frac{1}{5}（4a+\frac{1}{a}）}$，利用基本不等式的性質及其e∈（0，1）即可得出．

解答 解：∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{5a}+\frac{{y}^{2}}{4{a}^{2}+1}=1$的焦點在x軸上，
∴5a＞4a²+1．解得$\frac{1}{4}＜a＜1$．
則它的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{4{a}^{2}+1}{5a}}$=$\sqrt{1-\frac{1}{5}（4a+\frac{1}{a}）}$≤$\sqrt{1-\frac{1}{5}×2\sqrt{4a×\frac{1}{a}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，當且僅當a=$\frac{1}{2}$時取等號．
∴它的離心率e的取值范圍為$（0，\frac{\sqrt{5}}{5}]$．
故答案為：為$（0，\frac{\sqrt{5}}{5}]$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．