Question

20．根據(jù)下列條件，求雙曲線方程：
（1）中心在原點(diǎn)，一個(gè)頂點(diǎn)是（0，6），且離心率是1.5；
（2）已知雙曲線經(jīng)過點(diǎn)P（10，-3$\sqrt{3}$），且漸近線為y=±$\frac{3}{5}$x．

Answer 1

分析 （1）設(shè)雙曲線方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1$，a＞0，b＞0，由頂點(diǎn)為6，求出a=6，由離心率是1.5，求出e=$\frac{c}{a}=1.5$，由此能求出雙曲線方程．
（2）設(shè)雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{25}-\frac{{y}^{2}}{9}$=λ，λ≠0，把P（10，-3$\sqrt{3}$）代入，能求出雙曲線方程．

解答 解：（1）∵雙曲線中心在原點(diǎn)，一個(gè)頂點(diǎn)是（0，6），且離心率是1.5，
∴設(shè)雙曲線方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1$，a＞0，b＞0，
由已知得$\left\{\begin{array}{l}{a=6}\\{\frac{c}{a}=\frac{3}{2}}\\{{c}^{2}={a}^{2}+^{2}}\end{array}\right.$，解得a=6，c=9，b²=45，
∴雙曲線方程為$\frac{{y}^{2}}{36}-\frac{{x}^{2}}{45}$=1．
（2）∵雙曲線經(jīng)過點(diǎn)P（10，-3$\sqrt{3}$），且漸近線為y=±$\frac{3}{5}$x，
∴設(shè)雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{25}-\frac{{y}^{2}}{9}$=λ，λ≠0，
把P（10，-3$\sqrt{3}$）代入，得$λ=\frac{100}{25}-\frac{27}{9}$=1，
∴雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{25}-\frac{{y}^{2}}{9}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意雙曲線性質(zhì)的合理運(yùn)用．