Question

13．如圖，已知圓C的圓心在y軸的正半軸上，且與x軸相切，圓C與直線y=kx+3相交于A，B兩點．當(dāng)$k=\sqrt{3}$時，$|AB|=\sqrt{15}$．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）當(dāng)k取任意實數(shù)時，問：在y軸上是否存在定點T，使得∠ATB始終被y軸平分？若存在，求出點T的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)圓心C（0，b），b＞0，則半徑r=b，利用勾股定理，建立方程，即可求出b，從而求圓C的方程；
（Ⅱ）假設(shè)存在點T（0，t），聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}y=kx+3\\{x^2}+（y-2{）^2}=4\end{array}\right.$，利用韋達定理，結(jié)合k_AT+k_BT=0，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)圓心C（0，b），b＞0，則半徑r=b，…（2分）
則圓心C（0，b）到$y=\sqrt{3}x+3$的距離$d=\frac{|3-b|}{2}$
∴$（\frac{|3-b|}{2}{）^2}+（\frac{{\sqrt{15}}}{2}{）^2}={b^2}$…（5分）
得∴b=2或b=-4（舍）
∴圓C的方程為∴x²+（y-2）²=4…（7分）
（Ⅱ）假設(shè)存在點T（0，t），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}y=kx+3\\{x^2}+（y-2{）^2}=4\end{array}\right.$
得（1+k²）x²+2kx-3=0
則$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=-\frac{2k}{{1+{k^2}}}\\{x_1}{x_2}=-\frac{3}{{1+{k^2}}}\end{array}\right.$…（10分）
由k_AT+k_BT=0
即$\frac{{{y_1}-t}}{x_1}+\frac{{{y_2}-t}}{x_2}=0$…（12分）
∴2kx₁x₂+（3-t）（x₁+x₂）=0，
∴6k+2k（3-t）=0對k取任意實數(shù)時都成立，∴t-3=3即t=6
故存在定點T（0，6），使得∠ATB始終被y軸平分．…（15分）

點評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，屬于中檔題．