Question

3．已知非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$|$\overrightarrow{a}$|，則$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$的夾角為$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 運(yùn)用向量的平方即為模的平方，可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，再由向量的數(shù)量積的夾角公式計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：由|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|，兩邊平方可得，
（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）²=（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$）²，即為$\overrightarrow{a}$²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+$\overrightarrow$²=$\overrightarrow{a}$²-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+$\overrightarrow$²，
即有$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，
則（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）•$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$|²，
即有cos＜$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$，$\overrightarrow{a}$＞=$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|•|\overrightarrow{a}|}$=$\frac{|\overrightarrow{a}{|}^{2}}{\frac{2\sqrt{3}}{3}|\overrightarrow{a}{|}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由0≤＜$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$，$\overrightarrow{a}$＞≤π，可得＜$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$，$\overrightarrow{a}$＞=$\frac{π}{6}$．
故答案為：$\frac{π}{6}$．

點(diǎn)評 本題考查向量的夾角的求法，注意運(yùn)用向量的數(shù)量積的夾角公式和性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．