Question

9．已知$α∈R，α≠\frac{π}{2}+kπ（{k∈Z}）$，設(shè)直線l：y=xtanα+m，其中m≠0，給出下列結(jié)論：
①直線l的方向向量與向量$\overrightarrow a=（{cosα，sinα}）$共線；
②若$0＜α＜\frac{π}{4}$，則直線l與直線y=x的夾角為$\frac{π}{4}-α$；
③直線l與直線xsinα-ycosα+n=0（n≠m）一定平行；
寫出所有真命題的序號①②．

Answer 1

分析 ①求出直線l的方向向量，判斷它與向量$\overrightarrow a=（{cosα，sinα}）$共線；
②求出直線l和直線y=x的斜率與傾斜角，即可得出兩直線的夾角；
③根據(jù)兩直線的斜率與在y軸上的截距，得出兩直線不一定平行．

解答 解：對于①，直線l的方向向量是（1，tanα），它與向量$\overrightarrow a=（{cosα，sinα}）$共線，是真命題；
對于②，當(dāng)$0＜α＜\frac{π}{4}$時，直線l的斜率是tanα，傾斜角是α，
直線y=x的斜率是1，傾斜角是$\frac{π}{4}$，∴兩直線的夾角為$\frac{π}{4}-α$，是真命題；
對于③，直線l的斜率是k=tanα，在y軸上的截距是m，
直線xsinα-ycosα+n=0的斜率是k=tanα，且在y軸上的截距是$\frac{n}{cosα}$，
當(dāng)m=$\frac{n}{cosα}$時，兩直線重合，不平行，∴是假命題；
綜上，是真命題的序號是①②．
故答案為：①②．

點評 本題考查了直線方程的應(yīng)用問題，也考查了直線的斜率與方向向量的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．