Question

16．在△ABC中a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，且$\sqrt{3}$bcosA=asinB
（Ⅰ）求角A
（Ⅱ）若a=2$\sqrt{3}$，求bc的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理化簡(jiǎn)已知可得：$\sqrt{3}$sinBcosA=sinAsinB，結(jié)合sinB≠0，解得tanA=$\sqrt{3}$，結(jié)合范圍0＜A＜π，即可得解A的值．
（Ⅱ）由余弦定理可得12=b²+c²-bc，利用基本不等式b²+c²≥2bc，即可解得bc≤12．

解答 （本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）∵$\sqrt{3}$bcosA=asinB，
∴由正弦定理可得：$\sqrt{3}$sinBcosA=sinAsinB，
∵0＜B＜π，
∴sinB≠0，
∴$\sqrt{3}$cosA=sinA，
∴tanA=$\sqrt{3}$，
又∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{3}$…6分
（Ⅱ）由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，
∵a=2$\sqrt{3}$，A=$\frac{π}{3}$．
∴12=b${\;}^{2}+{c}^{2}-2bccos\frac{π}{3}$，即：12=b²+c²-bc，
∵b²+c²≥2bc，
∴bc≤12，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2$\sqrt{3}$時(shí)，bc取到最大值12…12分

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)，基本不等式在解三角形中的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．