Question

7．已知m∈R，直線l：mx-（m²+1）y=4m和圓C：x²+y²-8x+4y+16=0．
（1）求直線l斜率的取值范圍；
（2）直線l與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，若△ABC的面積為$\frac{8}{5}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線l的方程求出斜率，利用基本不等式求出斜率的取值范圍；
（Ⅱ）求出圓心C到直線l的距離，利用勾股定理求出弦長(zhǎng)，計(jì)算△ABC的面積，從而求出直線的斜率與方程．

解答 解：（1）直線l的方程可化為$y=\frac{m}{{{m^2}+1}}x-\frac{4m}{{{m^2}+1}}$，
所以直線l的斜率為$k=\frac{m}{{{m^2}+1}}$，--（2分）
因?yàn)閨m|≤$\frac{1}{2}$（m²+1），所以|k|=$\frac{|m|}{{m}^{2}+1}$≤$\frac{1}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)|m|=1時(shí)等號(hào)成立；
所以，斜率k的取值范圍是[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]；--（4分）
（2）由（1）知l的方程為y=k（x-4），其中|k|≤$\frac{1}{2}$；
圓C的圓心為C（4，-2），半徑r=2，--（5分）
圓心C到直線l的距離為$d=\frac{2}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$；--（6分）
所以${（\frac{|AB|}{2}）}^{2}$=r²-d²=4-$\frac{4}{1{+k}^{2}}$
|AB|=$\frac{4|k|}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$，--（8分）
所以三角形ABC的面積為S_△ABC=$\frac{1}{2}$•$\frac{4|k|}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$•$\frac{2}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$=$\frac{8}{5}$，
所以$\frac{4|k|}{{1+{k^2}}}=\frac{8}{5}$，
解得$k=±\frac{1}{2}$；--（9分）
所以，所求的直線方程為x-2y-2=0或x+2y-2=0．--（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓的方程的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了利用基本不等式求最值的應(yīng)用問(wèn)題，考查了勾股定理的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．