Question

20．已知集合M={（x，y）|x+y-2≤0，x≥0，y≥0}，集合N={$（x，y）|y≤\sqrt{x}，y≥0$}，若點P∈M，則P∈M∩N的概率為（　�。�

• A． $\frac{7}{18}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{7}{12}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，畫出圖形，根據(jù)圖形，求出集合M∩N表示的平面區(qū)域d的面積S₁和集合M表示的區(qū)域D的面積S，再利用幾何概型求出對應的概率．

解答 解：由集合M={（x，y）|x+y-2≤0，x≥0，y≥0}，
集合N={$（x，y）|y≤\sqrt{x}，y≥0$}，
則集合M∩N={（x，y）|$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2≤0}\\{y≤\sqrt{x}}\end{array}\right.$，x≥0，y≥0}，
圖象如圖，

∴集合M∩N中的點所構成的平面區(qū)域d的面積為
S₁=${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{x}$dx+${∫}_{1}^{2}$（2-x）dx=$\frac{2}{3}$•${x}^{\frac{3}{2}}$${|}_{0}^{1}$+（2x-$\frac{1}{2}$x²）${|}_{1}^{2}$
=$\frac{2}{3}$+（2×2-$\frac{1}{2}$×2²）-（2×1-$\frac{1}{2}$×1²）
=$\frac{7}{6}$，
集合M表示的區(qū)域D的面積為S=$\frac{1}{2}$×2×2=2，
所以點P∈M∩N的概率為P=$\frac{{S}_{1}}{S}$=$\frac{\frac{7}{6}}{2}$=$\frac{7}{12}$．
故選：C．

點評 本題考查了幾何概型的應用問題，也考查了利用定積分求平面區(qū)域的面積問題，是綜合性題目．