Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-|x-2|，x∈[1，3]}\\{3f（\frac{x}{3}），x∈（3，+∞）}\end{array}\right.$，設(shè)集合P={x|f（x）=m，0＜m＜1}（m為常數(shù)）的元素為x_i（i=1，2，3…）．其中x₁≤x₂≤x₃≤x₄≤…，則當(dāng)n∈N^*時，x₁+x₂+x₃+x₄+…+x_2n=2×（3ⁿ-1）．

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-|x-2|，x∈[1，3]}\\{3f（\frac{x}{3}），x∈（3，+∞）}\end{array}\right.$，可得：x∈[1，2]時，f（x）=x-1∈[0，1]；x∈（1，3]時，f（x）=3-x．
當(dāng)3＜x≤9時，則1＜$\frac{x}{3}$≤3，由f（x）=3f（$\frac{x}{3}$）可知：f（x）∈[0，3]．…，依此類推畫出函數(shù)圖象：根據(jù)集合P={x|f（x）=m，0＜m＜1}（m為常數(shù)）的元素為x_i（i=1，2，3…）．其中x₁≤x₂≤x₃≤x₄≤…．利用對稱性與中點坐標(biāo)公式、等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-|x-2|，x∈[1，3]}\\{3f（\frac{x}{3}），x∈（3，+∞）}\end{array}\right.$，
∴x∈[1，2]時，f（x）=x-1∈[0，1]；x∈（1，3]時，f（x）=3-x．
當(dāng)3＜x≤9時，則1＜$\frac{x}{3}$≤3，由f（x）=3f（$\frac{x}{3}$）可知：f（x）∈[0，3]．…，
依此類推畫出函數(shù)圖象：
∵集合P={x|f（x）=m，0＜m＜1}（m為常數(shù)）的元素為x_i（i=1，2，3…）．其中x₁≤x₂≤x₃≤x₄≤…．
∴當(dāng)1≤x≤3時，則y=f（x），與y=m有兩個交點x₁，x₂，且x₁+x₂=2×2=4；
同理，當(dāng)x∈（0，9]時，則y=f（x），與y=m有兩個交點x₃，x₄，且x₃+x₄=2×6=4×3；
同理，當(dāng)x∈（9，27]時，則y=f（x），與y=m有兩個交點x₅，x₆，且x₅+x₆═2×18=4×3²；
…．
∴當(dāng)n∈N^*時，x₁+x₂+x₃+x₄+…+x_2n=4×（1+3+3²+…+3^n-1）=$4×\frac{{3}^{n}-1}{3-1}$=2（3ⁿ-1）．
故答案為：2×（3ⁿ-1）．

點評 本題考查了分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)、中點坐標(biāo)公式、等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．