Question

5．在平面直角坐標系xOy中，曲線C₁：（x-2）²+y²=4，曲線C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2+2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．
（Ⅰ）以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，求曲線C₁，C₂的極坐標方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的極坐標系中，射線θ=$\frac{π}{3}$與曲線C₁，C₂分別交于A，B兩點，定點M（4，0），求△MAB的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）曲線C₁：（x-2）²+y²=4，展開可得：x²+y²-4x=0，把互化公式$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入即可得出．曲線C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2+2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），消去參數(shù)θ可得：x²+（y-2）²=4，展開可得：x²+y²-4y=0，把互化公式代入即可得出．
（Ⅱ）M到射線$θ=\frac{π}{3}$的距離為d=4sin$\frac{π}{3}$=2$\sqrt{3}$．|AB|=|ρ_B-ρ_A|=|4$sin\frac{π}{3}$-4cos$\frac{π}{3}$|．可得S_△MAB=$\frac{1}{2}$|AB|•d．

解答 （Ⅰ）解：曲線C₁：（x-2）²+y²=4，展開可得：x²+y²-4x=0，把互化公式$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入可得：ρ²-4ρcosθ=0，即ρ=4cosθ．
曲線C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2+2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），消去參數(shù)θ可得：x²+（y-2）²=4，展開可得：x²+y²-4y=0，把互化公式$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入可得：ρ²-4ρsinθ=0，即ρ=4sinθ．
（Ⅱ）M到射線$θ=\frac{π}{3}$的距離為d=4sin$\frac{π}{3}$=2$\sqrt{3}$．
|AB|=|ρ_B-ρ_A|=|4$sin\frac{π}{3}$-4cos$\frac{π}{3}$|=2$\sqrt{3}$-2．
則S_△MAB=$\frac{1}{2}$|AB|•d=6-2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了直角坐標方程化為極坐標方程、參數(shù)方程化為普通方程、直線與曲線相交弦長問題、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．