Question

3．已知函數(shù)f（x）=|log_0.5x|，若正實數(shù)m，n（m＜n）滿足f（m）=f（n），且f（x）在區(qū)間[m²，n]上的最大值為4，則n-m=（　�。�

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{15}{4}$
• C． $\frac{63}{4}$
• D． $\frac{255}{16}$

Answer 1

分析 由已知和對數(shù)的性質(zhì)可得0＜m＜1＜n，且mn=1，再由最大值為4可得m=$\frac{1}{4}$或n=16，分別解另一個值驗證可得．

解答 解：∵f（x）=|log_0.5x|，正實數(shù)m，n（m＜n）滿足f（m）=f（n），
∴0＜m＜1＜n，且|log_0.5m|=|log_0.5n|，∴l(xiāng)og_0.5m=-log_0.5n，
∴l(xiāng)og_0.5m+log_0.5n=0，解得mn=1，
又∵f（x）在區(qū)間[m²，n]上的最大值為4，
∴|log_0.5m²|=4或|log_0.5n|=4，即log_0.5m²=4或log_0.5n=-4，
解得m=$\frac{1}{4}$或n=16，當(dāng)m=$\frac{1}{4}$時，由mn=1可得n=4，此時n-m=$\frac{15}{4}$；
當(dāng)n=16時，由mn=1可得m=$\frac{1}{16}$，這與m＜n矛盾，應(yīng)舍去．
故選：B．

點評 本題考查對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及分類討論的思想，屬中檔題．