Question

6．已知函數(shù)f（x）=x²+2xsinθ+1，x∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$]．
（1）當θ=$\frac{π}{6}$時，求f（x）的最大值和最小值；
（2）若f（x）在[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$]上是單調(diào)函數(shù)，且θ∈[0，2π]，求θ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當θ=$\frac{π}{6}$時，f（x）=x²+x-1=（x+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得f（x）的最大值和最小值．
（2）利用f（x）=x²+2xsinθ-1的對稱軸為x=-sinθ，由題意可得-sinθ≤-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，或-sinθ≥$\frac{1}{2}$，求得sinθ的范圍，再結(jié)合θ的范圍，確定出θ的具體范圍．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）當θ=$\frac{π}{6}$時，f（x）=x²+x+1=（x+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
由于x∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$]，故當x=-$\frac{1}{2}$時，f（x）有最小值$\frac{3}{4}$；當x=$\frac{1}{2}$時，f（x）有最大值$\frac{7}{4}$．…（6分）
（2）因為f（x）=x²+2xsinθ+1的對稱軸為x=-sinθ，
又欲使f（x）在區(qū)間[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$]上是單調(diào)函數(shù)，
則-sinθ≤-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，或-sinθ≥$\frac{1}{2}$，即sinθ≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$或sinθ≤-$\frac{1}{2}$．
因為θ∈[0，2π]，
故所求θ的范圍是[$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]∪[$\frac{7π}{6}$，$\frac{11π}{6}$]．…（12分）

點評 本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應用，考查分類討論的思想方法，考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．