Question

14．已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且2S_n=a_n（a_n+1）數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項(xiàng)和為T_n，則T_2n-T_n≥$\frac{1}{2}$（選“≥，＞，≤，＜”作為答案）

Answer 1

分析 利用遞推關(guān)系與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a_n=n，再利用“放縮法”與不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵2S_n=a_n（a_n+1），
∴當(dāng)n=1時(shí)，2a₁=a₁（a₁+1），∵a₁＞0，解得a₁=1．
當(dāng)n≥2時(shí)，2a_n=2S_n-2S_n-1=a_n（a_n+1）-a_n-1（a_n-1+1），
化為：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵數(shù)列{a_n}是正項(xiàng)數(shù)列，
∴a_n+a_n-1＞0，
∴a_n-a_n-1-1）=0，即a_n-a_n-1=1，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)與公差都為1．
∴a_n=1+（n-1）=n．
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項(xiàng)和為T_n=1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$．
則T_2n-T_n=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+n}$≥$\frac{n}{n+n}$=$\frac{1}{2}$，
故答案為：≥．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“放縮法”、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．