Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}2x+b\\{x^2}+（{a^2}-4a）x+1\end{array}\right.\begin{array}{l}x≥0\\ x＜0\end{array}$，其中a，b∈R．若對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)x₁，存在唯一的非零實(shí)數(shù)x₂（x₁≠x₂），使得f（x₂）=f（x₁）成立，則a+b的取值范圍為[1，5]．

Answer 1

分析 利用分段函數(shù)，通過(guò)題意推出函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)值的關(guān)系列出方程，求解即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}2x+b\\{x^2}+（{a^2}-4a）x+1\end{array}\right.\begin{array}{l}x≥0\\ x＜0\end{array}$，x≥0時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)；
因?yàn)閷?duì)任意的非零實(shí)數(shù)x₁，存在唯一的非零實(shí)數(shù)x₂（x₁≠x₂），使得f（x₂）=f（x₁）成立，
可知x＜0時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)，并且x=0時(shí)，兩部分的函數(shù)值相等．
可得：1=b，$-\frac{{a}^{2}-4a}{2}≥0$，解得a∈[0，4]．
a+b的取值范圍為：[1，5]．
故答案為：[1，5]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)與方程的思想的應(yīng)用，判斷函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．