Question

12．設(shè)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1-ax}{x-1}$為奇函數(shù)，a為常數(shù)．
（1）求a的值；
（2）證明f（x）在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增；
（3）若對于區(qū)間[2，5]上的每一個x的值，不等式f（x）＞（$\frac{1}{2}$）^x+m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由奇函數(shù)的定義，結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)，可得a=-1；
（2）運用單調(diào)性的定義，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得證；
（3）由題意可得即f（x）-（$\frac{1}{2}$）^x＞m恒成立．令g（x）=f（x）-（$\frac{1}{2}$）^x．只需g（x）_min＞m，由g（x）的單調(diào)性即可得到最小值．

解答 解：（1）由f（x）是奇函數(shù)，即為f（-x）=-f（x），
則$lo{g}_{\frac{1}{2}}\frac{1+ax}{-x-1}$=-log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1-ax}{x-1}$，即有$\frac{1+ax}{-x-1}$=$\frac{x-1}{1-ax}$＞0，
即有1-a²x²=1-x²，解得a=±1，
檢驗a=1（舍），故a=-1．                   
（2）由（1）知f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$（$\frac{x+1}{x-1}$），
證明：任取1＜m＜n，n-1＞m-1＞0，即有0＜$\frac{2}{n-1}$＜$\frac{2}{m-1}$，
即1+$\frac{2}{n-1}$＜1+$\frac{2}{m-1}$，即0＜$\frac{n+1}{n-1}$＜$\frac{m+1}{m-1}$，
即有$lo{g}_{\frac{1}{2}}$$\frac{n+1}{n-1}$＞$lo{g}_{\frac{1}{2}}$$\frac{m+1}{m-1}$，
即f（n）＞f（m），f（x）在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．        
（3）對于[2，5]上的每一個x的值，不等式f（x）＞（$\frac{1}{2}$）^x+m恒成立，
即f（x）-（$\frac{1}{2}$）^x＞m恒成立．
令g（x）=f（x）-（$\frac{1}{2}$）^x．只需g（x）_min＞m，
又易知g（x）在[2，5]上是增函數(shù)，
∴g（x）_min=g（2）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$3-$\frac{1}{4}$，
則當(dāng)m＜$lo{g}_{\frac{1}{2}}$3-$\frac{1}{4}$時原式恒成立．

點評 本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運用，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數(shù)分離和函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．