Question

7．已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-2|，若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f（x）對任意a，b∈R恒成立，求實數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析 先分離出含有a，b的代數(shù)式，即$\frac{1}{|a|}$（|a+b|+|a-b|）≥f（x）恒成立，問題轉(zhuǎn)化為求左式的最小值，然后利用絕對值的幾何意義得答案．

解答 解：不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f（x）對任意a，b∈R恒成立，即$\frac{1}{|a|}$（|a+b|+|a-b|）≥f（x）恒成立，
故f（x）小于等于$\frac{1}{|a|}$（|a+b|+|a-b|）的最小值，
∵$\frac{1}{|a|}$（|a+b|+|a-b|）≥$\frac{1}{|a|}$（|a+b+a-b|）=2，當(dāng)且僅當(dāng)（a+b）（a-b）≥0時取等號，
∴$\frac{1}{|a|}$（|a+b|+|a-b|）的最小值等于2．
則|x-1|+|x-2|≤2．
左邊的幾何意義為數(shù)軸上的動點x與兩定點1，2的距離和，如圖，

當(dāng)x∈[$\frac{1}{2}，\frac{5}{2}$]時，滿足|x-1|+|x-2|≤2．
故x的取值范圍是[$\frac{1}{2}，\frac{5}{2}$]．

點評 本題主要考查了不等式的恒成立問題，通常采用分離參數(shù)的方法解決，考查了絕對值的幾何意義，屬于中檔題．