Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\frac{2x-1}{x+1}$，x∈[3，5]．
（Ⅰ）判斷函數(shù)在區(qū)間[3，5]上的單調(diào)性，并給出證明；
（Ⅱ）求該函數(shù)的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）函數(shù)f（x）在[3，5]上單調(diào)遞增．運(yùn)用單調(diào)性的定義證明，注意作差、變形和定符號、下結(jié)論；
（Ⅱ）運(yùn)用f（x）在[3，5]上單調(diào)遞增，計(jì)算即可得到最值．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）在[3，5]上單調(diào)遞增．
證明：設(shè)任意x₁，x₂，滿足3≤x₁＜x₂≤5．
∵f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2{x}_{1}-1}{{x}_{1}+1}$-$\frac{2{x}_{2}-1}{{x}_{2}+1}$
=$\frac{（2{x}_{1}-1）（{x}_{2}+1）-（2{x}_{2}-1）（{x}_{1}+1）}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$
=$\frac{3（{x}_{1}-{x}_{2}）}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$，
∵3≤x₁＜x₂≤5，∴x₁+1＞0，x₂+1＞0，x₁-x₂＜0．
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）=$\frac{2x-1}{x+1}$在[3，5]上為增函數(shù)．
（Ⅱ）f（x）_min=f（3）=$\frac{2×3-1}{3+1}$=$\frac{5}{4}$；
f（x）_max=f（5）=$\frac{2×5-1}{5+1}$=$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，考查函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．