Question

17．已知函數(shù)f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）-3．
（1）若f（θ）=-4，θ∈[0，2π]，求θ的值；
（2）若不等式|f（x）-m|＜2在x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{3π}{4}$]上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）函數(shù)y=f（x）的圖象是由y=sinx如何變換得來的？

Answer 1

分析 （1）由已知解得sin（2θ-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$，從而解得θ=k$π+\frac{3π}{4}$，k∈Z，結合θ的范圍，即可求得θ的值．
（2）結合x 的范圍求出表達式相位的范圍，確定表達式的范圍，求出最值，利用不等式恒成立確定m 的范圍即可．
（3）由條件利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得結論．

解答 解：（1）由f（θ）=2sin（2θ-$\frac{π}{3}$）-3=-4，可得：sin（2θ-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$，解得：2θ-$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{7π}{6}$，k∈Z，既有：θ=k$π+\frac{3π}{4}$，k∈Z
又因為θ∈[0，2π]，所以：θ=$\frac{3π}{4}$或$\frac{7π}{4}$．
（2）∵x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{3π}{4}$]，
∴2x-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴-4≤2sin（2x-$\frac{π}{3}$）-3≤-1，
∴f（x）_max=-1，f（x）_min=-4
∵不等式|f（x）-m|＜2?f（x）-2＜m＜f（x）+2
∴|f（x）-m|＜2在x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{3π}{4}$]上恒成立?m＞f（x）_max-2且m＜f（x）_min+2
∴-3＜m＜-2，即：m的取值范圍是（-3，-2）．
（3）：把函數(shù)y=sinx的圖象向右邊平移$\frac{π}{3}$個單位，可得函數(shù)y=sin（x-$\frac{π}{3}$）的圖象，
再把所得圖象上的各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{2}$倍，即可得到函數(shù)y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）的圖象；
再把所得圖象上的各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，即可得到函數(shù)y=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）的圖象．
再把所得圖象上的各點向下平移3個單位，即可得到函數(shù)y=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）-3的圖象．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)的化簡，周期的求法，函數(shù)的閉區(qū)間上的最值問題，考查發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力，考查計算能力，屬于常考題型，屬于基本知識的考查．