Question

6．已知y=f（x）與y=f（x+1）都是定義在R上的偶函數(shù)，當x∈[-1，0]時，f（x）=-2x²-4x-2，若y=f（x）與g（x）=log_a（x+1）的圖象至少有3個交點，則a取值范圍為（　�。�

• A． 0＜a＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． 0＜a＜$\frac{\sqrt{6}}{6}$
• C． 1＜a＜$\sqrt{3}$
• D． 1＜a＜$\sqrt{6}$

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)判斷函數(shù)的周期性，作出函數(shù)f（x）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合建立不等式關系即可得到結(jié)論．

解答 解：∵y=f（x）與y=f（x+1）都是定義在R上的偶函數(shù)，
∴f（-x+1）=f（x+1），
即f（-x+1）=f（x+1）=f（x-1），
即f（x+2）=f（x），
則函數(shù)f（x）是周期為2的周期函數(shù)，
當x∈[0，1]時，-x∈[-1，0]，
此時f（-x）=-2x²+4x-2=f（x），
即f（x）=-2x²+4x-2，x∈[0，1]，
當x=2時，f（2）=f（0）=-2，
作出f（x）的圖象如圖：
當a＞1時，f（x）與g（x）只有一個交點，不滿足條件．
當0＜a＜1時，若y=f（x）與g（x）=log_a（x+1）的圖象至少有3個交點，
則滿足g（2）＞-2，
即log_a（2+1）＞-2，
即log_a3＞-2，
即log_a3＞-2log_aa=log_aa^-2，
即a^-2＞3，
則a²＜$\frac{1}{3}$，
解得0＜a＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故選：A

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應用，根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求出函數(shù)的解析式，作出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關鍵．