Question

4．在極坐標(biāo)系中，已知直線l的極坐標(biāo)方程為$ρsin（θ+\frac{π}{4}）=1+\sqrt{2}$，圓C的圓心是$C（\sqrt{2}，\frac{π}{4}）$，半徑為$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求圓C的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）求直線l被圓C所截得的弦長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出圓心坐標(biāo)，和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求圓C的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）分別求出直線的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用直線和圓的位置關(guān)系即可求直線l被圓C所截得的弦長．

解答 解：（Ⅰ）∵圓C的圓心是$C（\sqrt{2}，\frac{π}{4}）$，
∴x=ρcosθ=$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=1，y=ρsinθ=$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=1，
即圓心坐標(biāo)為（1，1），
則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-1）²+（y-1）²=2，x²-2x+y²-2y=0
圓C的極坐標(biāo)方程為：$ρ=2\sqrt{2}cos（θ-\frac{π}{4}）$；
（Ⅱ）∵直線l的極坐標(biāo)方程為$ρsin（θ+\frac{π}{4}）=1+\sqrt{2}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρsinθ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρcosθ=1+$\sqrt{2}$，
即$x+y=2+\sqrt{2}$，
圓心到直線距離為$d=\frac{{|1+1-2-\sqrt{2}|}}{{\sqrt{2}}}=1$，圓半徑為$\sqrt{2}$．
故弦長為$2\sqrt{{r^2}-{d^2}}=2$．

點(diǎn)評 本題主要考查參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程的應(yīng)用，利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)系之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．