Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$sin2x-cos²x-$\frac{1}{2}$，x∈R．
（Ⅰ）當(dāng)x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}}$]時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值和最大值；
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）的圖象的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，再將函數(shù)圖象向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x），求函數(shù)y=|g（x）|的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角公式以及兩角和的正弦函數(shù)化簡函數(shù)的解析式，求出相位的范圍，利用三角函數(shù)的有界性求解即可．
（Ⅱ）利用三角函數(shù)的圖象變換求出函數(shù)的解析式，利用函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的單調(diào)性即可．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-{cos^2}x-\frac{1}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1-cos2x}{2}-\frac{1}{2}$=$sin（2x-\frac{π}{6}）-1$--------（4分）
由$x∈[-\frac{π}{12}，\frac{5π}{12}]$，∴$2x-\frac{π}{6}∈$$[-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}]$，
∴$x=-\frac{π}{12}，f（x）$的最小值為$-1-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，x=\frac{π}{3}$，
f（x）的最大值是0．--------（4分）
（Ⅱ）解：將函數(shù)y=f（x）=$sin（2x-\frac{π}{6}）-1$的圖象的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，得到函數(shù)y=$sin（x-\frac{π}{6}）-1$，再將函數(shù)圖象向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）=$sin（x-\frac{π}{6}）$，
即$g（x）=sin（x-\frac{π}{6}）$---------（3分）
y=|$sin（x-\frac{π}{6}）$|，由$kπ≤x-\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+kπ，k∈Z$-------（2分）
得：增區(qū)間為$[\frac{π}{6}+kπ，\frac{2π}{3}+kπ]，k∈Z$-------（2分）

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)的最值以及三角函數(shù)的解析式的求法，三角函數(shù)的圖象的變換，考查分析問題解決問題到哪里．