Question

15．在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為：ρ=4cosθ．
（1）把直線l的參數(shù)方程化為極坐標方程，把曲線C的極坐標方程化為普通方程；
（2）求直線l與曲線C交點的極坐標（ρ≥0，0≤θ＜2π）．

Answer 1

分析 （1）直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t化為$\sqrt{3}x-y-2\sqrt{3}$=0，把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入即可得出，由曲線C的極坐標方程為：ρ=4cosθ，變?yōu)棣?SUP>2=4ρcosθ，代入化為直角坐標方程．
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x-y-2\sqrt{3}=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-4x=0}\end{array}\right.$，解出再化為極坐標（ρ≥0，0≤θ＜2π）為．

解答 解；（1）直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t化為$\sqrt{3}x-y-2\sqrt{3}$=0，
把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入可得：$\sqrt{3}ρcosθ-ρsinθ-2\sqrt{3}$=0，
由曲線C的極坐標方程為：ρ=4cosθ，變?yōu)棣?SUP>2=4ρcosθ，化為x²+y²-4x=0．
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x-y-2\sqrt{3}=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-4x=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴直線l與曲線C交點的極坐標（ρ≥0，0≤θ＜2π）為$（2，\frac{5π}{3}）$，$（2\sqrt{3}，\frac{π}{6}）$．

點評 本題考查了極坐標與直角坐標方程的互化、直線與曲線的交點，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．