Question

20．在平面直角坐標系中，圓心坐標均為（2，2）的圓Ⅰ、圓Ⅱ、圓Ⅲ半徑分別為4，2，1，直線y=$\frac{3}{4}$x+3與圓Ⅰ交于點A，B，點C在圓Ⅰ上，滿足線段CA和線段CB與圓Ⅱ均有公共點，點P是圓Ⅲ上任意一點，則△APB與△APC面積之比的最大值為$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)三角形的面積公式判斷出兩個面積的比值最大時，角∠BAP應達到最大，根據(jù)圖象確定此時點P的位置，再由條件列出角之間的關系，表示出兩個三角形的面積的比值的表達式，由角大小關系列出面積比值的不等式：$\frac{{S}_{△APB}}{{S}_{△APC}}$≤$\frac{sin（\frac{π}{6}+θ）}{sin（\frac{π}{6}-β）}$，再根據(jù)三角形有關的數(shù)據(jù)求出角的三角函數(shù)值，利用兩角和差的正弦公式求出$\frac{sin（\frac{π}{6}+θ）}{sin（\frac{π}{6}-β）}$的值即可．

解答 解：由題意可得|PI|=1知，點P在以I為圓心的單位圓上，
設∠BAP=α，假設點P使α達到最大值β，此時點P應落在∠IAP內，
且此時AP應與單位圓I相切，
由弦長公式可得AB=2$\sqrt{{4}^{2}-（\frac{3×2-4×2+12}{5}）^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
再由線段CA和線段CB與圓Ⅱ均有公共點，可得△ABC是等邊三角形，
所以0＜α≤β＜$\frac{π}{3}$，
令∠IAP=θ，則θ=$β-\frac{π}{6}$，所以β=$\frac{π}{6}$+θ，
則$\frac{{S}_{△APB}}{{S}_{△APC}}$=$\frac{\frac{1}{2}AP•ABsinα}{\frac{1}{2}AP•ACsin（\frac{π}{3}-α）}$=$\frac{sinα}{sin（\frac{π}{3}-α）}$≤$\frac{sinβ}{sin（\frac{π}{3}-β）}$=$\frac{sin（\frac{π}{6}+θ）}{sin（\frac{π}{6}-β）}$，①
因為等邊三角形ABC的邊長為4$\sqrt{3}$，其重心（中線交點）為I，所以AI=4，
由∠API=90°得，sinθ=$\frac{IP}{AI}$=$\frac{1}{4}$，則cosθ=$\sqrt{1-si{n}^{2}θ}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
即tanθ=$\frac{\sqrt{15}}{15}$，
所以$\frac{sin（\frac{π}{6}+θ）}{sin（\frac{π}{6}-β）}$=$\frac{\frac{1}{2}cosθ+\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ}{\frac{1}{2}cosθ-\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ}$=$\frac{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}tanθ}{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}tanθ}$=$\frac{1+\sqrt{3}×\frac{\sqrt{15}}{15}}{1-\sqrt{3}×\frac{\sqrt{15}}{15}}$=$\frac{3+\sqrt{15}}{2}$，②
由①②知，當AP與單位圓I相切時，
$\frac{{S}_{△APB}}{{S}_{△APC}}$的值達到最大，最大值為：$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$．
故答案為：$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題以等邊三角形為載體考查了最值問題，平面幾何的知識，以及兩角和差的正弦公式，關鍵是利用三角形的面積公式，判斷出兩個面積的比值最大時對應的條件，難度較大，考查分析問題、解決問題的能力，需要較強的邏輯分析能力．